Weierstraß-Vorlesung im Zeichen der Nullstellenverteilung von L-Funktionen
Prof. Dr. Peter Clive Sarnak, Festredner der diesjährigen Weierstraß-Vorlesung an der Universität Paderborn, gehört zu den weltweit führenden Zahlentheoretikern. Seine Arbeiten haben fundamentale Entwicklungen begründet, beispielsweise im Kontext der sogenannten Ramanujan-Vermutung oder der „Golden Gates“. Prof. Dr. Tobias Weich, Leiter der AG Spektralanalysis an der Universität Paderborn, ordnet die Ergebnisse ein: „Peter Sarnak hat außerordentlich tiefgreifende Resultate bewiesen – etwa die bis heute am besten bekannten Annäherungen an die berühmte Ramanujan-Vermutung, eine scheinbar einfache, in Wahrheit aber ungeheuer schwierige Aussage über Modul- und Maaßformen. Solche Ergebnisse sind für Außenstehende kaum greifbar. Sie spielen sich in den abstraktesten Bereichen der reinen Mathematik ab.“
Prof. Sarnak, der am 12. Juni in Paderborn Einblicke in seine Forschung gibt, war bis 1991 an der Stanford University, USA, tätig. Seit 1991 ist er Professor für Mathematik an der Princeton University, ebenfalls USA. Seit 2007 ist er zudem einer von acht ständigen Mitgliedern der angesehenen „School of Mathematics“ in Princeton. Zu seinen Auszeichnungen gehören u. a. der „George-Pólya-Preis“ der „Society for Industrial and Applied Mathematics“ (SIAM), der „Ostrowski-Preis“ und der „Levi-L.-Conant-Preis“. Für seine Arbeiten zur Zahlentheorie wurde er mit dem „Frank Nelson Cole Prize“ der „American Mathematical Society“ ausgezeichnet.
Prof. Weich erklärt: „Das eigentlich Beeindruckende ist, dass Sarnak aus hochabstrakten Theoremen immer wieder ganz konkrete, anwendungsrelevante Resultate gewinnt.“ Das „Institute for Advanced Study“ in Princeton hat ihm deshalb das Porträt „A Connector’s Connector“ gewidmet – einen „Verbinder“, der Brücken zwischen scheinbar unverwandten Disziplinen schlägt. Zwei Beispiele zeigen das besonders schön. Das sind die Ramanujan-Graphen und die Golden Gates.
„Erstaunlichstes Geschenk, das reine Mathematiker theoretischen Informatikern je gemacht haben“
Viele technische Systeme lassen sich als Graph beschreiben: als Netz aus Punkten und Verbindungen. Das World Wide Web ist so ein Graph – jede Webseite ein Knoten, jeder Hyperlink eine Verbindung. Für solche Netze wünscht man sich eine paradoxe Kombination: sparsam (wenige Verbindungen je Knoten, das spart Kosten) und trotzdem hochgradig vernetzt (kurze Wege zwischen je zwei Punkten, ohne Engpässe). Prof. Sarnak konstruierte solche optimalen Netzwerke 1988 mit Alexander Lubotzky und Ralph Phillips mithilfe reiner Zahlentheorie. Diese Ramanujan-Graphen sind nachweislich die bestmöglichen ihrer Art und unmittelbar praktisch einsetzbar. Sie finden heute Anwendung in Algorithmen, bei der Datenspeicherung und der Kryptographie. Wie überraschend dieses Geschenk war, hat der Yale-Informatiker Daniel Spielman treffend beschrieben: „das erstaunlichste Geschenk, das reine Mathematiker den theoretischen Informatikern je gemacht haben.“
„Golden Gates” – Bausteine für Quantencomputer
Ein zweites, hochaktuelles Beispiel führt direkt in die Quantentechnologie, einen der großen Forschungsschwerpunkte hier in Paderborn. Ein Quantencomputer rechnet, indem er Quantenzustände durch Gatter manipuliert – die quantenmechanischen Gegenstücke zu den Bausteinen klassischer Chips. Entscheidend ist: Welche Gatter setzen beliebige Rechenoperationen mit möglichst wenigen, möglichst kostengünstigen Schritten zusammen? „Sarnak hat gezeigt, dass auch diese Frage im Kern zahlentheoretisch ist. Seine ‚Golden Gates‘ liefern nachweislich besonders effiziente Quantengatter. Eine jüngste Weiterentwicklung (2025) kommt für bestimmte Operationen mit rund zehnmal weniger der besonders ‚teuren‘ T-Gatter aus als die Standardverfahren – und gerade diese sind in der Praxis aufwändig zu realisieren“, weiß Prof. Weich.
Mathematik- und Quantenforschung in Paderborn
Die Zerlegung von Gates in kleinere Bausteine ist ein Thema, an dem die Paderborner Mathematik im Rahmen des Instituts für Photonische Quantenforschung (PhoQS) aktiv ist. Die Arbeiten finden an der Schnittstelle von Mathematik, Physik und Informatik statt. Das PhoQS bündelt die Kompetenzen auf den Gebieten der Photonik und der Quantenforschung an der Universität Paderborn. Dank eines interdisziplinären Teams von führenden Expert*innen aus der Physik, der Mathematik, der Informatik und der Elektrotechnik betreibt das PhoQS exzellente Forschung in den Bereichen Quanten-Simulation, -Kommunikation, -Metrologie und -Computing. 2024 konnte beispielsweise der erste lichtbasierte Quantencomputer Deutschlands (PaQS) seine Arbeit in Paderborn aufnehmen.
In einem von der Deutschen Forschungsgemeinschaft (DFG) seit 2023 geförderten Sonderforschungsbereich (SFB) untersuchen Paderborner und Bielefelder Wissenschaftler*innen zudem ganzzahlige Strukturen. In der Geometrie beispielsweise treten solche Strukturen als Pflasterungen auf – sich wiederholende Teilflächen, symmetrisch und lückenlos angeordnet, die komplexe, mehrdimensionale Muster ergeben können. Ganzzahlige Strukturen begegnen Mathematiker*innen aber nicht nur in der Geometrie, sondern auch in Algebra, Analysis, Zahlentheorie und weiteren mathematischen Teilgebieten. Die mathematische Forschung an der Schnittstelle dieser Teilgebiete kennzeichnet das wissenschaftliche Profil des Paderborner Instituts für Mathematik.
Prof. Weich hält fest: „Beide Beispiele, also die Ramanujan-Graphen und die Golden Gates, beruhen auf demselben mathematischen Fundus – arithmetischen Gruppen, quadratischen Formen, Modulformen – also genau jenen ‚ganzzahligen Strukturen‘, die im Zentrum unseres Sonderforschungsbereichs stehen. Sarnaks Virtuosität, mit der er verschiedene Teildisziplinen verknüpft, ist für viele Projekte des SFB eine herausragende Inspirationsquelle. Er verkörpert auf das Eindrucksvollste, was unser Fach leisten kann: dass aus scheinbar abstrakter Grundlagenforschung relevante Anwendungen werden, die niemand hätte vorhersehen können.“
Alle Interessierten sind herzlich eingeladen, an der Weierstraß-Vorlesung am Freitag, 12. Juni, von 16 bis 18 Uhr in Hörsaal O1 teilzunehmen.
