Abgeleitet-zahme Algebren und nichtkommutative nodale projektive Kurven
Überblick
Das Hauptziel dieses Projektes ist die Entwicklung einer systematischen Theorie von nichtkommutativen nodalen projektiven Kurven, ähnlich zur Theorie von gewichteten projektiven Geraden von Geigle und Lenzing. Wir wollen insbesondere klären, wann die abgeleitete Kategorie kohärenter Garben auf einer solchen Kurve ein Kipp-Objekt besitzt und daher die Klassen von entsprechenden gekippten Algebren beschreiben. Besonders interessant ist der Fall von abgeleitet-zahmen nichtkommutativen nodalen Kurven. Mit den neuen Methoden der nichtkommutativen Geometrie beabsichtigen wir alte Probleme über sphärischen Objekte und Autoäquivalenzen der abgeleiteten Kategorie kohärenter Garben auf einem Zykel projektiver Geraden zu betrachten.
DFG-Verfahren Sachbeihilfen
Detailinformationen
Ergebnisse
In einer gemeinsamen Arbeit mit Yuriy Drozd habe ich die Theorie der nicht-kommutativen Knotenkurven geregelt und das Kriterium ihrer Zahmheit geklärt. Diese Arbeit führte zur Entdeckung einer neuen Klasse von abgeleiteten zahmen Algebren, die als quasi-zahm bezeichnet werden. In einem allgemeineren Kontext nicht-kommutativer noetherischer Schemata haben Drozd und ich ein allgemeines Morita-Theorem aufgestellt und einen neuen Beweis für eine Vermutung von Caldararu über Morita-Äquivalenzen von Azumaya-Algebren auf noetherischen Schemata geliefert. Mit Hilfe einer Erkenntnis aus der homologischen Spiegelsymmetrie entdeckten Lekili und Polishchuk, dass zwei zahme nicht-kommutative Knotenkurven zwar nicht Morita-äquivalent sein können, aber äquivalente abgeleitete Kategorien von kohärenten Garben haben. In Weiterentwicklung der Ideen von Lekili und Polishchuk haben Drozd und ich eine Version der homologischen Spiegelsymmetrie für allgemeine zahme nicht-kommutative Knotenkurven vom sanften Typ entwickelt. In einer gemeinsamen Arbeit mit Plamondon und Schroll führte Sebastian Opper ein kombinatorisches Modell einer sanften Algebra ein. Unter Verwendung der entwickelten Technik entdeckte er (unabhängig von Amiot, Plamondon und Schroll) eine vollständige abgeleitete Invariante einer sanften Algebra. Schließlich gab Sebastian Opper eine Antwort auf eine alte Frage von Polishchuk zu sphärischen Objekten auf Zyklen projektiver Linien, die vor mehr als fünfzehn Jahren gestellt wurde. On the derived categories of gentle and skew-gentle algebras: homological algebra and matrix problems I. Burban, Yu. Drozd (Siehe online unter https://arxiv.org/abs/1706.08358) A geometric model for the derived category of gentle algebras S. Opper, P.-G. Plamondon, S. Schroll (Siehe online unter https://arxiv.org/abs/1801.09659) Non-commutative nodal curves and derived-tame algebras I. Burban, Yu. Drozd (Siehe online unter https://arxiv.org/abs/1805.05174) Morita theory for non-commutative noetherian schemes I. Burban, Yu. Drozd (Siehe online unter https://arxiv.org/abs/1911.01242) On auto-equivalences and complete derived invariants of gentle algebras S. Opper (Siehe online unter https://arxiv.org/abs/1904.04859)Projektbezogene Publikationen (Auswahl)